MIT Calculus Lectures: Video

Lecture 1: Rate of Change 

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Prosesor: So, again welcome to 18.01.

We're getting started today with what we're calling Unit One, a highly imaginative title And it's differentations.

So, let me first tell you, briefly  what's  in store in the next couple of weeks. The main topic today is what is a derivative. And  we're going to look at this from severaldiferent  points of view, and the first one is the geometric interpretation.

That's wath we'll spend most  of today on. An then, we'll also talk about a physical  interpretation of wath a derivative is And there's  going to be something else which I guess is  maybe the reason why Calculus is so fundamental, and why we always start with  it is most science and enginnering  schools, which is the importance of  derivatives, of this, to all measurements. So that means pretty much every place. That means in science enginnering, in economics, in political science, etc. Polling, lots of commercial aplications, just about everything. Now, that's what we'll  be getting started with, and then there's another thing  that we're gonna do  in this unit, which is we're going to explain how differentiate anything. So, how to differentiate any function you know. And that's kind of  a tall order,  but let me just give  you a example. If you want to take  the derivative - this  we'll see today is the notation for the derivative os something-of some messy fuction like e^ x arctanx.

All righ? Anything you can think of, anythin you can write down, we can differentiate it. All righ, so that's  what we're gonna do, and today as I said, we're gonna spend most  of our time on this geometric interpretation. So let's begin  with that. So here we go with the geometric interpretation of derivatives.  And, what we're going to do is just ask  the geometric problem of finding  the tangent line to some graph of some function at some point. Which to say (x0,y0). So that's the problem that we're adressingn here.  Alright , so here's our problem, and  now let me show you solution. So, we'll let's graph the function. Here's it's graph Here's some point. All right, maybe should draw it just a bit lower.  So here's point P.  Maybe it's above  de point. x0. x0 by the way,  this was supposed  to be an x0.  That was soem fixed plece on the x-axis. And now,  in order perform  this maghty feat,  I will  use another color of  chalk.  How about red? ok. So here it is.  There's  the tangent line, Well not quite  straight. Close enought.  All right? I did it. That's the geometric problem.  I achieved what I wainted to do,  and it's kind of an interesting question, which  unfortunately  I can't  solve for you in  this class, which is, how did  I do that?  That's is,  how physically  did I  manage to  know to do  to draw this tangent line?  Buth that's what geometric problem are like. We visualize it. We can figure  it out somewhere in our brains.  It happens.  And the task that we have now is to figure out  how to do it analytically, to do it in a way that a machine could just as well as I did in drawing this tangent line. So what did we learn  high school about what a tangent line is ?  Well, a tangent  line as an  equation, and any line trhough a point as the equation y-y0 is equal  to m the slope, x-x0.  So here's the equation  for that line, and now there  are two  pieces of information  that we're going to need  to work  out what the line is. The first one is the point. That's  that point P  there  And to specify P, given x, we need to  know the level of  y,  which is of course  just  f(x0).  That's not a calculus problem, but anyway that's a every  important part of  the process . So that's the first  thing  we need to know. And the second  thing we need  to know is the slope. And that's this number m. And is calculus  we have another name  for it. We call if f prime  of  x0. Namely , the derivative of  f. So that's the  calculus part. That's the tricky part,  and  that's the part  that we  have to  discuss now.  So just  to make that explicit here, I'm going to make a definition, which is that f´(x0), which is  known as the derivative, of f,  at x0, is the slope  of the tangent  line to y = f(x) at the point,  let's just  call it P. All right?  So, that's  what it is, but still I haven't  made any  progress in figuring out any  better how  I drew that line. So I have to say  something  that's more concrete, because I want to be able to cook up what these numbers are . I have to figure out what this  number m is. And one way of thinking about that,  let me just  try this, so  I certainly  am taking  for granted  that in sort  of non-calculus,  part that I know  what a line  throught  a point is.  So I know this equation. But another possibility might  be, this line here,  how do I know-well  unfortunately,  I didn't  draw it quite straight, but there it is-how do I know that this orange  line is not  a tanget line, but this other line  is a tangent line? Well,  it's actually not so  obvious, but  I'm gonna  describe it a little bite. It's not really  the fact,  this thing crosses at some other place, which is this point Q. But it's not really the fact that the thing crosses  at two place, because  the line could  be wiggly, the curve could be wiggly, and it could cross back and forth a number of times.That's not what distinguishes the tangent line. So I'm gonna  have to somehow grasp  this, and I'll  first do it in language. And it's the following idea:  it's that  if you take  this orange line, which is called a secant line, and you think of the point Q as getting closer and closer to P, then the slope of that line will get closer and closer  to the slope of the red line. And if we draw it close enough , then that's gonna be the correct line. So that's really what I did,  sort of  in my brain when  I drew that first line. And so that's the way I'm going to articulate it first. Now, so the tangent line  is equal to the limit  of so called secant lines PQ, as Q tends to P. And  here we're thinking  of P as being fixed and Q as varible. All right?  Again, this is still  the geometric discussion, but now we're gonna  be able to put symbols  and formulas to this computation.  And we'll be able  to work out  formulas in any example.  So let's do that So first of all, I'm gonna write out these points P and Q again. So maybe  we'll put  P here and Q  here.  And I'm thinking of this line trought them. I guess it was  orange, so we'll leave it as orange. All right. And now I want to computes its slope. So this gradually, we'll do this in two steps. And these steps will introduce  us to  the basic notations which  are used troughout calculus, including multi-variable calculus, across the board.

 

So the first notation that’s used is you imagine here’s the x-axis underneath, and here’s  the  X0, the location directly below the point, P. And we’re traveling here a horizontal distance which is denoted by delta x. So that’s delta x, so called. And we could also call it the change in X. So that’s one thing we want to measure in order to get. The slope of this line PQ. And the other thing is this height. So that’s this distance here, which we denote delta f, which is the change in f. And then, the slope is just the ratio, delta f/delta X. So this is the slope of the secant and the process I just describe over here with this limit applies not just to the wole line itself, but also in particular to its slope. And the way we write that is the limit as delta X goes to 0. And that’s going to be our slope so this is still a little general and I want to work out. A more usable form here, a better formula for this. And in order to do that, I’m gonna write delta f, the numerator more explicitly here. The change in f, so remember that point P is the point (x0, f(x0)). All right, that’s what we got for  the formula for  the  point. And in order to compute these distance and in particular the vertical distance here, I’m gonna have to get a formula for Q as well.

So if this horizontal distance is delta x, then this location is (x0 delta x). And so the point above that  point  that point has a formula, which is (x0 delta x, f(x0 and this is a mouthful, delta x)). All right, so there’s the formula for the point Q. Here’s the formula for the point P. And now I can write a different formula for the derivate, which is the same as m, is going to be the limit as delta x goes to 0 of the change in f is the value of  f at the upper  point here, which  is (x0 delta x), and minus its  value at the lower point P, which is f(x0), dirided by  delta x. All right, so this is the formula.

I’m going to put this in a little box, because this is by for the most important formula today, which we use  to derive pretty much everything else.

And this is the way that we’re going to be  able to compute these numbers. So let’s do an example. This example, well call this example one we’ll take the function f(x). Which is 1/x. That’s sufficiently cumpli cated to have  an interesting answer, and sufficiently straightforward that is it  that we’re gonna do here? All we’re going to do is we’re going to plug in this formula here for that function that’s all we’re going to do, and visually what we’re  accomplishing is somehow to take the hyperbola, and take a point on the hyperbola, and figure out some tangent line.

That's what we're accomplishing when we do that. So we're accomplishing this geometrically but we'll be doing it algebraically. So first, we consider this difference delta f / delta x and write out its formula.

So I have to have a place. So I'm gonna make it again above this point x0, which is the general point. We'll make the general calculation. So the value of f at the top, when we move to the right by f(x), so I just read off from this, read off from here. The formula, the first thing I get here is 1 / x0 delta x. That's the left hand term. Minus 1 / x0, that's the right hand term. And then I have to divide that by delta x. OK, so here's our expression. And by the way this has a name. This thing is called a difference quotient. It's pretty complicated, because there's always a difference in the numerator. And in disguise, the denominator is a difference, because it's the difference between the value on the right side and the value on the left side here. OK, so now we're going to simplify it by some algebra.

So let's just take a look. So this is equal to, let's continue on the next level here. This is equal to 1 / delta x times... All I'm going to do is put it over a common denominator. So the common denominator is (x0 delta x)x0. And so in the numerator for the first expressions I have x0, and for the second expression I have x0 delta x. So this is the same thing as I had in the numerator before, factoring out this denominator. And here I put that numerator into this more amenable form.

And now there are two basic cancellations. The first one is that x0 and x0 cancel, so we have this. And then the second step is that these two expressions cancel, the numerator and the denominator. Now we have a cancellation that we can make use of. So we'll write that under here. And this is equals -1 / (x0 delta x)x0. And then the very last step is to take the limit as delta x tends to 0, and now we can do it. Before we couldn't do it. Why? Because the numerator and the denominator gave us / 0. But now that I've made this cancellation, I can pass to the limit. And all that happens is I set this delta x to 0, and I get -1/x0^2. So that's the answer. All right, so in other words what I've shown - let me put it up here- is that f'(x0) = -1/x0^2.

Now, let's look at the graph just a little bit to check this for plausibility, all right? What's happening here, is first of all it's negative. It's less than 0, which is a good thing. You see that slope there is negative. That's the simplest check that you could make. And the second thing that I would just like to point out is that as x goes to infinity, that as we go farther to the right, it gets less and less steep. So as x0 goes to infinity, less and less steep. So that's also consistent here, when x0 is very large, this is a smaller and smaller number in magnitude, although it's always negative. It's always sloping down. All right, so I've managed to fill the boards. So maybe I should stop for a question or two. Yes?

Student: [INAUDIBLE]

Professor: So the question is to explain again this limiting process. So the formula here is we have basically two numbers. So in other words, why is it that this expression, when delta x tends to 0, is equal to -1/x0^2 ? Let me illustrate it by sticking in a number for x0 to make it more explicit. All right, so for instance, let me stick in here for x0 the number 3. Then it's -1 / (3 delta x)3. That's the situation that we've got. And now the question is what happens as this number gets smaller and smaller and smaller, and gets to be practically 0? Well, literally what we can do is just plug in there, and you get (3 0)3 in the denominator. Minus one in the numerator. So this tends to -1/9 (over 3^2). And that's what I'm saying in general with this extra number here. Other questions? Yes.

Student: [INAUDIBLE]

Professor: So the question is what happened between this step and this step, right? Explain this step here. Alright, so there were two parts to that. The first is this delta x which is sitting in the denominator, I factored all the way out front. And so what's in the parentheses is supposed to be the same as what's in the numerator of this other expression. And then, at the same time as doing that, I put that expression, which is the difference of two fractions, I expressed it with a common denominator. So in the denominator here, you see the product of the denominators of the two fractions. And then I just figured out what the numerator had to be without really... Other questions? OK.

So I claim that on the whole, calculus gets a bad rap, that it's actually easier than most things. But there's a perception that it's harder. And so I really have a duty to give you the calculus made harder story here. So we have to make things harder, because that's our job. And this is actually what most people do in calculus, and it's the reason why calculus has a bad reputation. So the secret is that when people ask problems in calculus, they generally ask them in context. And there are many, many other things going on. And so the little piece of the problem which is calculus is actually fairly routine and has to be isolated and gotten through. But all the rest of it, relies on everything else you learned in mathematics up to this stage, from grade school through high school. So that's the complication. So now we're going to do a little bit of calculus made hard. By talking about a word problem.

We only have one sort of word problem that we can pose, because all we've talked about is this geometry point of view. So far those are the only kinds of word problems we can pose. So what we're gonna do is just pose such a problem. So find the areas of triangles, enclosed by the axes and the tangent to y = 1/x. OK, so that's a geometry problem. And let me draw a picture of it. It's practically the same as the picture for example one. We only consider the first quadrant. Here's our shape. All right, it's the hyperbola. And here's maybe one of our tangent lines, which is coming in like this. And then we're trying to find this area here. Right, so there's our problem. So why does it have to do with calculus? It has to do with calculus because there's a tangent line in it, so we're gonna need to do some calculus to answer this question. But as you'll see, the calculus is the easy part.

So let's get started with this problem. First of all, I'm gonna label a few things. And one important thing to remember of course, is that the curve is y = 1/x. That's perfectly reasonable to do. And also, we're gonna calculate the areas of the triangles, and you could ask yourself, in terms of what? Well, we're gonna have to pick a point and give it a name. And since we need a number, we're gonna have to do more than geometry. We're gonna have to do some of this analysis just as we've done before. So I'm gonna pick a point and, consistent with the labeling we've done before, I'm gonna to call it (x0, y0). So that's almost half the battle, having notations, x and y for the variables, and x0 and y0, for the specific point.

Now, once you see that you have these labellings, I hope it's reasonable to do the following. So first of all, this is the point x0, and over here is the point y0. That's something that we're used to in graphs. And in order to figure out the area of this triangle, it's pretty clear that we should find the base, which is that we should find this location here. And we should find the height, so we need to find that value there. Let's go ahead and do it. So how are we going to do this? Well, so let's just take a look. So what is it that we need to do? I claim that there's only one calculus step, and I'm gonna put a star here for this tangent line. I have to understand what the tangent line is. Once I've figured out what the tangent line is, the rest of the problem is no longer calculus. It's just that slope that we need. So what's the formula for the tangent line? Put that over here. it's going to be y - y0 is equal to, and here's the magic number, we already calculated it. It's in the box over there. It's -1/x0^2 ( x - x0). So this is the only bit of calculus in this problem. But now we're not done. We have to finish it. We have to figure out all the rest of these quantities so we can figure out the area.

All right. So how do we do that? Well, to find this point, this has a name. We're gonna find the so called x-intercept. That's the first thing we're going to do. So to do that, what we need to do is to find where this horizontal line meets that diagonal line. And the equation for the x-intercept is y = 0. So we plug in y = 0, that's this horizontal line, and we find this point. So let's do that into star. We get minus, oh one other thing we need to know. We know that y0 is f(x0) , and f(x) is 1/x , so this thing is 1/x0. And that's equal to -1/x0^2. And here's x, and here's x0. All right, so in order to find this x value, I have to plug in one equation into the other.

So this simplifies a bit. This is -x/x0^2. And this is plus 1/x0 because the x0 and x0^2 cancel somewhat. And so if I put this on the other side, I get x / x0^2 is equal to 2 / x0. And if I then multiply through - so that's what this implies - and if I multiply through by x0^2 I get x = 2x0.

OK, so I claim that this point weve just calculated it's 2x0. Now, I'm almost done. I need to get the other one. I need to get this one up here. Now I'm gonna use a very big shortcut to do that. So the shortcut to the y-intercept is to use symmetry. All right, I claim I can stare at this and I can look at that, and I know the formula for the y-intercept. It's equal to 2y0. All right. That's what that one is. So this one is 2y0. And the reason I know this is the following: so here's the symmetry of the situation, which is not completely direct. It's a kind of mirror symmetry around the diagonal. It involves the exchange of (x, y) with (y, x); so trading the roles of x and y. So the symmetry that I'm using is that any formula I get that involves x's and y's, if I trade all the x's and replace them by y's and trade all the y's and replace them by x's, then I'll have a correct formula on the other ways. So if everywhere I see a y I make it an x, and everywhere I see an x I make it a y, the switch will take place. So why is that? That's just an accident of this equation. That's because, so the symmetry explained... is that the equation is y= 1 / x. But that's the same thing as xy = 1, if I multiply through by x, which is the same thing as x = 1/y. So here's where the x and the y get reversed. OK now if you don't trust this explanation, you can also get the y-intercept by plugging x = into the equation star. OK? We plugged y = in and we got the x value. And you can do the same thing analogously the other way.

All right so I'm almost done with the geometry problem, and let's finish it off now. Well, let me hold off for one second before I finish it off. What I'd like to say is just make one more tiny remark. And this is the hardest part of calculus in my opinion. So the hardest part of calculus is that we call it one variable calculus, but we're perfectly happy to deal with four variables at a time or five, or any number. In this problem, I had an x, a y, an x0 and a y0. That's already four different things that have various relationships between them. Of course the manipulations we do with them are algebraic, and when we're doing the derivatives we just consider what's known as one variable calculus. But really there are millions of variable floating around potentially. So that's what makes things complicated, and that's something that you have to get used to. Now there's something else which is more subtle, and that I think many people who teach the subject or use the subject aren't aware, because they've already entered into the language and they're so comfortable with it that they don't even notice this confusion. There's something deliberately sloppy about the way we deal with these variables.

The reason is very simple. There are already four variables here. I don't wanna create six names for variables or eight names for variables. But really in this problem there were about eight. I just slipped them by you. So why is that? Well notice that the first time that I got a formula for y0 here, it was this point. And so the formula for y0, which I plugged in right here, was from the equation of the curve. y0 = 1 / x0. The second time I did it, I did not use y = 1 / x. I used this equation here, so this is not y = 1/x. That's the wrong thing to do. It's an easy mistake to make if the formulas are all a blur to you and you're not paying attention to where they are on the diagram.

You see that x-intercept calculation there involved where this horizontal line met this diagonal line, and y = represented this line here. So the sloppines is that y means two different things. And we do this constantly because it's way, way more complicated not to do it. It's much more convenient for us to allow ourselves the flexibility to change the role that this letter plays in the middle of a computation. And similarly, later on, if I had done this by this more straightforward method, for the y-intercept, I would have set x equal to 0. That would have been this vertical line, which is x = 0. But I didn't change the letter x when I did that, because that would be a waste for us. So this is one of the main confusions that happens. If you can keep yourself straight, you're a lot better off, and as I say this is one of the complexities.

All right, so now let's finish off the problem. Let me finally get this area here. So, actually I'll just finish it off right here. So the area of the triangle is, well it's the base times the height. The base is 2x0 the height is 2y0, and a half of that. So it's 1/2( 2x0)(2y0) , which is (2x0)(y0), which is, lo and behold, 2. So the amusing thing in this case is that it actually didn't matter what x0 and y0 are. We get the same answer every time. That's just an accident of the function 1 / x. It happens to be the function with that property.

All right, so we have some more business today, some serious business. So let me continue. So, first of all, I want to give you a few more notations. And these are just other notations that people use to refer to derivatives. And the first one is the following: we already wrote y = f(x). And so when we write delta y, that means the same thing as delta f. That's a typical notation. And previously we wrote f' for the derivative, so this is Newton's notation for the derivative. But there are other notations. And one of them is df/dx, and another one is dy/ dx, meaning exactly the same thing. And sometimes we let the function slip down below so that becomes d / dx (f) and d/ dx(y) . So these are all notations that are used for the derivative, and these were initiated by Leibniz. And these notations are used interchangeably, sometimes practically together. They both turn out to be extremely useful. This one omits - notice that this thing omits- the underlying base point, x0. That's one of the nuisances. It doesn't give you all the information. But there are lots of situations like that where people leave out some of the important information, and you have to fill it in from context. So that's another couple of notations.

So now I have one more calculation for you today. I carried out this calculation of the derivative of the function 1 / x. I wanna take care of some other powers. So let's do that.

So Example 2 is going to be the function f(x) = x^n. n = 1, 2, 3; one of these guys. And now what we're trying to figure out is the derivative with respect to x of x^n in our new notation, what this is equal to. So again, we're going to form this expression, delta f / delta x. And we're going to make some algebraic simplification. So what we plug in for delta f is ((x delta x)^n - x^n)/delta x. Now before, let me just stick this in then I'm gonna erase it. Before, I wrote x0 here and x0 there. But now I'm going to get rid of it, because in this particular calculation, it's a nuisance. I don't have an x floating around, which means something different from the x0. And I just don't wanna have to keep on writing all those symbols. It's a waste of blackboard energy. There's a total amount of energy, and I've already filled up so many blackboards that, there's just a limited amount. Plus, I'm trying to conserve chalk. Anyway, no 0's. So think of x as fixed. In this case, delta x moves and x is fixed in this calculation. All right now, in order to simplify this, in order to understand algebraically what's going on, I need to understand what the nth power of a sum is. And that's a famous formula. We only need a little tiny bit of it, called the binomial theorem. So, the binomial theorem which is in your text and explained in an appendix, says that if you take the sum of two guys and you take them to the nth power, that of course is (x delta x) multiplied by itself n times. And so the first term is x^n, that's when all of the n factors come in. And then, you could have this factor of delta x and all the rest x's. So at least one term of the form (x^(n-1))delta x. And how many times does that happen? Well, it happens when there's a factor from here, from the next factor, and so on, and so on, and so on. There's a total of n possible times that that happens. And now the great thing is that, with this alone, all the rest of the terms are junk that we won't have to worry about. So to be more specific, there's a very careful notation for the junk. The junk is what's called big O((delta x)^2). What that means is that these are terms of order, so with (delta x)^2, (delta x)^3 or higher. All right, that's how. Very exciting, higher order terms.

OK, so this is the only algebra that we need to do, and now we just need to combine it together to get our result. So, now I'm going to just carry out the cancellations that we need. So here we go. We have delta f / delta x, which remember was 1 / delta x times this, which is this times, now this is (x^n nx^(n-1) delta x this junk term) - x^n. So that's what we have so far based on our previous calculations. Now, I'm going to do the main cancellation, which is this. All right. So, that's 1/delta x( nx^(n-1) delta x this term here). And now I can divide in by delta x. So I get nx^(n-1) now it's O(delta x). There's at least one factor of delta x not two factors of delta x, because I have to cancel one of them. And now I can just take the limit. And the limit this term is gonna be 0. That's why I called it junk originally, because it disappears. And in math, junk is something that goes away. So this tends to, as delta x goes to 0, nx ^ (n-1). And so what I've shown you is that d/dx of x to the n minus - sorry -n, is equal to nx^(n-1).

So now this is gonna be super important to you right on your problem set in every possible way, and I want to tell you one thing, one way in which it's very important. One way that extends it immediately. So this thing extends to polynomials. We get quite a lot out of this one calculation. Namely, if I take d / dx of something like (x^3 5x^10) that's gonna be equal to 3x^2, that's applying this rule to x^3. And then here, I'll get 5*10 so 50x^9. So this is the type of thing that we get out of it, and we're gonna make more hay with that next time. Question. Yes. I turned myself off. Yes?

Student: [INAUDIBLE]

Professor: The question was the binomial theorem only works when delta x goes to 0. No, the binomial theorem is a general formula which also specifies exactly what the junk is. It's very much more detailed. But we only needed this part. We didn't care what all these crazy terms were. It's junk for our purposes now, because we don't happen to need any more than those first two terms. Yes, because delta x goes to 0. OK, see you next time.

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Profesor: ¿Entonces, de nuevo la bienvenida a 18.01. Estamos para empezar hoy con lo que estamos llamando a la Unidad Uno, un título muy imaginativo. Y es la diferenciación. Así, en primer lugar quisiera decir, en pocas palabras, lo que les espera en el próximo par de semanas. El tema principal de hoy es lo que es un derivado. Y, vamos a ver esto desde varios puntos de vista diferentes, y la primera es la interpretación geométrica. Eso es lo que vamos a pasar la mayor parte de hoy. Y luego, también vamos a hablar de una interpretación física de lo que es un derivado.

Y luego va a ser otra cosa que creo que es tal vez la razón por la cual El cálculo es tan fundamental, y por qué siempre empezamos con él en la mayoría de la ciencia y las escuelas de ingeniería, que es la importancia de los derivados de la presente, a todas las mediciones. Lo que significa casi todos los lugares. Eso significa que en la ciencia, en ingeniería, en economía, en ciencias políticas, etc sondeo, un montón de aplicaciones comerciales, casi todo.

Ahora, eso es lo que vamos a empezar a utilizar, y luego hay otra cosa que vamos a hacer en esta unidad, que es que vamos a explicar cómo diferenciar nada. Entonces, ¿cómo diferenciar cualquier función que sabes. Y eso es algo de una tarea difícil, pero permítanme darles un ejemplo. Si usted quiere tomar la derivada - esto vamos a ver hoy es la notación para la derivada de algo - de alguna función, como desordenado e ^ x arctanx. Vamos a resolver esto por el final de esta unidad.

¿De acuerdo? Cualquier cosa que se te ocurra, cualquier cosa que usted puede escribir, podemos diferenciar. Muy bien, eso es lo que vamos a hacer, y hoy como he dicho, vamos a pasar la mayor parte de nuestro tiempo en esta interpretación geométrica. Así que vamos a empezar con eso.

Así que aquí vamos con la interpretación geométrica de los derivados. Y, ¿qué vamos a hacer es simplemente hacer que el problema geométrico de encontrar la línea tangente a un gráfico de una función en algún momento. Lo que quiere decir (x0, y0). Así que ese es el problema que estamos tratando aquí. Bien, aquí está nuestro problema, y ahora déjame mostrarte la solución. Así que, bueno, vamos a representar gráficamente la función. Aquí está es gráfico. He aquí algunos puntos. Bueno, tal vez debería llamar un poco más bajo. Así que aquí está un punto P. Tal vez sea por encima del punto x0. x0, por cierto, este iba a ser un x0. Ese fue un lugar fijo en el eje "x". Y ahora, con el fin de realizar esta hazaña poderoso, voy a usar otro color de tiza. ¿Qué hay de rojo? Aceptar. Así que aquí está. No, no la recta tangente, Bueno, bastante recta. Lo suficientemente cerca. ¿De acuerdo? Lo hice.

Ese es el problema geométrico. Conseguí lo que quería hacer, y es una especie de pregunta interesante, que lamentablemente no puede resolver por usted en esta clase, que es, ¿cómo puedo hacerlo? Es decir, ¿cómo hizo físicamente me las arreglo para saber qué hacer para sacar esta recta tangente? Pero eso es lo que son como los problemas geométricos. Tenemos que visualizar. Podemos descubrir en algún lugar de nuestro cerebro. Sucede. Y la tarea que tenemos ahora es averiguar cómo hacerlo analíticamente, para hacerlo de una manera que una máquina podría tan bien como lo hice en la elaboración de esta línea tangente.

Así que, ¿qué aprendimos en la escuela secundaria acerca de lo que una línea tangente es? Bueno, una recta tangente tiene una ecuación, y cualquier línea a través de un punto tiene la ecuación y - y0 es igual a la pendiente m, los tiempos de x - x0.

Así que aquí está la ecuación de esa línea, y ahora hay dos piezas de información que vamos a tener que trabajar fuera de la línea de lo que es. El primero es el punto. Eso es que el punto P allí. Y para especificar P, dado x, es necesario conocer el nivel de y, que por supuesto es sólo f (x 0). Eso no es un problema de cálculo, pero de todos modos esa es una parte muy importante del proceso. Así que eso es lo primero que necesitamos saber. Y la segunda cosa que necesitamos saber es la pendiente. Y eso es este número m. Y en el cálculo tenemos otro nombre para él. Nosotros lo llamamos f principal de x0. Es decir, la derivada de f. Así que esa es la parte de cálculo. Esa es la parte difícil, y eso es lo que tenemos que discutir ahora. Así que para hacer explícito que aquí voy a hacer una definición, que es que f '(x 0), que se conoce como la derivada de f en x0, es la pendiente de la recta tangente ay = f (x) en el punto, vamos a llamarlo p.

¿De acuerdo? Entonces, eso es lo que es, pero todavía no he hecho ningún progreso en averiguar nada mejor cómo dibujaba esa línea. Así que tengo que decir algo que es más concreto, porque quiero ser capaz de cocinar lo que estos números son. Tengo que averiguar lo que este número m es. Y una manera de pensar sobre eso, déjame probar esto, así que sin duda estoy dando por sentado que en una especie de parte no de cálculo, que yo sepa lo que es una línea a través de un punto es. Así que sé esta ecuación. Sin embargo, otra posibilidad podría ser, esta línea de aquí, ¿cómo puedo saber - bien, por desgracia, yo no lo dibujó muy recta, pero no lo es - ¿cómo sé que esta línea de color naranja no es una línea tangente, pero otros línea es una recta tangente? Bueno, en realidad no es tan obvio, pero voy a describir un poco. En realidad no es el hecho, esto pasa en algún otro lugar, que es el punto P: Pero en realidad no es el hecho de que lo cruza en dos el lugar, ya que la línea podría ser saltones, la curva podría ser saltones, y podría cruzar de ida y vuelta varias veces. Eso no es lo que distingue a la línea tangente.

Así que voy a tener que comprender de alguna manera esto, y por primera vez lo hará en el lenguaje. Y es la siguiente idea: es que si usted toma esta línea de color naranja, que se llama una línea secante, y pensar en el punto Q como cada vez más cerca a P, entonces la pendiente de esa línea se acercará más a la pendiente de la línea roja. Y si nos acercamos lo suficientemente cerca, entonces va a ser la línea correcta. Así que eso es realmente lo que hice, más o menos en mi cerebro cuando me llamó esa primera línea.

Y lo que es la forma en que voy a expresar en primer lugar. Ahora, por lo que la recta tangente es igual al límite de la llamada secante PQ líneas, como Q tiende a P. Y aquí estamos pensando en P como Q como fijos y variables. ¿De acuerdo? Una vez más, esto sigue siendo la discusión geométrica, pero ahora vamos a ser capaces de poner símbolos y fórmulas para este cálculo. Y vamos a ser capaces de trabajar fórmulas en cualquier ejemplo.

Así que vamos a hacer eso. Así que en primer lugar, voy a escribir estos puntos P y Q de nuevo. Así que tal vez vamos a poner aquí P y Q aquí. Y estoy pensando en esta línea a través de ellos. Supongo que era de color naranja, así que lo dejaremos como el naranja. Todos los derechos. Y ahora quiero para calcular su pendiente. Así que esto, poco a poco, vamos a hacerlo en dos pasos. Y estos pasos nos introducirá en las anotaciones de base que se utilizan en el cálculo, incluyendo cálculo de múltiples variables, en todos los ámbitos. Así que la primera notación que se utiliza es imaginar aquí está el eje "x" por debajo, y aquí está la x0, la ubicación justo debajo del punto P. Y estamos aquí viajar una distancia horizontal que se denota por delta x. Así que eso es delta x, llamado así. Y también podríamos llamarlo el cambio en x.

Así que eso es una cosa que se quiere medir con el fin de obtener la pendiente de esta recta PQ. Y la otra cosa es esta altura. Así que esa es la distancia aquí, que denotamos delta f, que es el cambio en f. Y entonces, la pendiente es la relación, el delta f / delta x. Así que esta es la pendiente de la secante. Y el proceso que acabo de describir aquí con este límite se aplica no sólo a toda la línea en sí, sino también, en particular, su pendiente. Y la manera de escribir que es el límite cuando delta x tiende a 0. Y eso va a ser nuestra pendiente. Así que esta es la pendiente de la recta tangente.

Aceptar. Ahora, este es aún un poco en general, y quiero encontrar una forma más útil aquí, una fórmula mejor para esto. Y para hacer eso, voy a escribir delta f, el numerador más explícitamente aquí. El cambio de f, así que recuerde que el punto P es el punto (x0, f (x 0)). Muy bien, eso es lo que tenemos para la fórmula para el punto. Y el fin de calcular estas distancias y, en particular, la distancia vertical aquí, yo voy a tener que conseguir una fórmula para Q también. Así que si esta distancia horizontal es el delta x, entonces este lugar es (x0 delta x). Y así, el punto por encima de ese punto tiene una fórmula, que es (x0 delta x, f (x 0 y esto es un delta bocado, x)).

Muy bien, por lo que es la fórmula para el punto P. Aquí 's la fórmula para el punto P. Y ahora que puedo escribir una fórmula diferente de la derivada, que es la siguiente: por lo que esta f' (x 0), que es lo mismo que m, va a ser el límite cuando delta x tiende a del cambio de f, en tanto el cambio de f es el valor de f en el punto más alto aquí, que es (x0 delta x), y menos su valor en el menor el punto P, que es f (x 0), dividido por el delta x. Muy bien, así que esta es la fórmula. Voy a poner esto en una pequeña caja, porque esto es, con mucho, la fórmula más importante hoy en día, que utilizamos para obtener casi todo lo demás. Y esta es la forma en que vamos a ser capaces de calcular estos números.

Así que vamos a hacer un ejemplo. En este ejemplo, vamos a llamar a esto un ejemplo. Vamos a tomar la función f (x), que es 1 / x. Eso es lo suficientemente complicado tener una respuesta interesante y lo suficientemente sencillo que podemos calcular la derivada con bastante rapidez. Entonces, ¿qué es lo que vamos a hacer aquí? Todo lo que vamos a hacer es que vamos a conectar esta fórmula aquí para esa función. Eso es todo lo que vamos a hacer, y visualmente lo que estamos logrando es de alguna manera para tener la hipérbola, y tomar un punto de la hipérbola, y descubrir alguna línea tangente. Eso es lo que estamos logrando cuando hacemos eso. Así que estamos logrando este geométricamente, pero vamos a estar haciendo algebraicamente. Así que en primer lugar, consideramos que este delta diferencia f / x delta y escribir su fórmula.

Así que tengo que tener un lugar. Así que voy a hacerlo de nuevo por encima de este punto x0, que es el punto en general. Vamos a hacer el cómputo general. Así que el valor de f en la parte superior, cuando nos movemos hacia la derecha por f (x), por lo que acabo de leer fuera de esto, leer desde aquí. La fórmula, lo primero que he llegado hasta aquí es de 1 / x0 delta x. Ese es el término a la izquierda. Menos de 1 / x0, ese es el término a la derecha. Y entonces tengo que dividir por el delta que x. Aceptar, asi que aquí, de nuestra expresión. Y por la forma en que esta tiene un nombre. Esta cosa se llama cociente de diferencia. Es bastante complicado, porque siempre hay una diferencia en el numerador. Y en el encubrimiento, el denominador es la diferencia, porque es la diferencia entre el valor en el lado derecho y el valor en el lado izquierdo aquí. OK, así que ahora vamos a simplificarlo por un poco de álgebra.

Así que vamos a echar un vistazo. Así que esto es igual, vamos a continuar en el siguiente nivel aquí. Esto es igual a 1 / delta x veces ... Todo lo que voy a hacer es ponerlo sobre un denominador común. Así que el denominador común es (x0 delta x) x 0. Y así, en el numerador de las primeras expresiones que he x0, y para la segunda expresión que he x0 delta x. Así que esto es lo mismo que había antes en el numerador, el factoring a cabo este denominador. Y aquí pongo que el numerador en esta forma más dócil.

Y ahora hay dos cancelaciones de base. La primera es que x0 y x0 cancelar, por lo que tenemos esto. Y entonces el segundo paso es que estas dos expresiones cancelar, el numerador y el denominador. Ahora tenemos una cancelación que podemos hacer uso. Así que vamos a escribir que aquí abajo. Y esto es igual a -1 / (x0 delta x) x 0. Y entonces el último paso es tomar el límite cuando delta x tiende a 0, y ahora podemos hacerlo. Antes no podía hacerlo. ¿Por qué? Debido a que el numerador y el denominador nos dio / 0. Pero ahora que he hecho esta cancelación, que puede pasar hasta el límite. Y todo lo que sucede es que establece este delta x 0, y me -1/x0 ^ 2. Así que esa es la respuesta. Muy bien, así que en otras palabras lo que he demostrado - permítanme decirlo aquí-es que f '(x0) ^ 2 = -1/x0.

Ahora, echemos un vistazo a la gráfica un poco para comprobar la plausibilidad de esta, ¿de acuerdo? ¿Qué está pasando aquí, es, ante todo es negativo. Es menos de 0, que es una buena cosa. Usted ve que la pendiente no es negativo. Esa es la simple verificación de que usted podría hacer. Y la segunda cosa que me gustaría señalar es que a medida que x tiende a infinito, que a medida que vamos más a la derecha, se hace menos y menos escarpada. Así como x0 tiende a infinito, menos y menos escarpada. Así que eso es también coherente aquí, cuando x0 es muy grande, se trata de un número cada vez más pequeños en magnitud, aunque es siempre negativa. Siempre inclinada hacia abajo. Muy bien, así que he logrado llenar las tablas. Así que tal vez debería dejar de una o dos preguntas. ¿Sí?

[Inaudible]: Estudiante

Profesor: Entonces la pregunta es para explicar de nuevo este proceso de limitación. Así que la fórmula aquí es que tenemos básicamente dos números. En otras palabras, ¿por qué es que esta expresión, cuando delta x tiende a 0, es igual a -1/x0 ^ 2? Permítanme ilustrar pegando en una serie de x0 para hacerlo más explícito. Muy bien, así que por ejemplo, me dejó pegar aquí para x0 el número 3. Entonces es -1 / (3 delta x) 3. Esa es la situación que tenemos. Y ahora la pregunta es qué sucede a medida que este número se hace más pequeño y cada vez más pequeños, y llega a ser prácticamente 0? Bueno, literalmente, lo que podemos hacer es conectar allí, y te (3 0) 3 en el denominador. Menos uno en el numerador. Así que esto tiende a -1 / 9 (más de 3 ^ 2). Y eso es lo que estoy diciendo, en general, con este número adicional aquí. Otras preguntas? Sí.

[Inaudible]: Estudiante

Profesor: Entonces la pregunta es lo que pasó entre este paso y este paso, ¿no? Explicar este paso aquí. Muy bien, así que había dos partes a eso. El primero es este delta x, que está sentado en el denominador, factor que todo el camino al frente. Y así lo que está en los paréntesis se supone que es el mismo que lo que hay en el numerador de esta expresión de otros. Y luego, en el momento mismo que hacer eso, puesto que la expresión, que es la diferencia de dos fracciones, lo expresó con un denominador común. Así que en el denominador aquí, ver el producto de los denominadores de las dos fracciones. Y entonces me imaginé lo que el numerador tenía que ser sin realmente ... Otras preguntas? Aceptar.

Así que la demanda que, en general, el cálculo tiene una mala reputación, que en realidad es más fácil que la mayoría de las cosas. Pero hay una percepción de que es más difícil. Y así que realmente tienen el deber de darle el cálculo hecho más difícil historia aquí. Así que tenemos que hacer las cosas más difíciles, porque ese es nuestro trabajo. Y esto es realmente lo que la mayoría de la gente en el cálculo, y es la razón por la que el cálculo tiene una mala reputación. Así que el secreto es que cuando la gente pregunta problemas en el cálculo, por lo general les pregunta en su contexto. Y hay muchas cosas, muchos otros pasando. Y por lo que el pedazo del problema que es el cálculo es en realidad bastante habitual y tiene que ser aislado y obtenido a través. Pero todo lo demás, se basa en todo lo que aprendiste en matemáticas hasta esta etapa, desde la primaria hasta la secundaria. Así que esa es la complicación. Así que ahora vamos a hacer un poco de cálculo hizo duro. Al hablar de un problema de palabras.

Sólo tenemos un tipo de problema palabra que podemos plantear, porque todo lo que hemos hablado es este punto de vista de la geometría. Hasta el momento esos son los únicos tipos de problemas de palabras que pueden plantear. Entonces, ¿qué vamos a hacer es plantear un problema. Así que encontrar las áreas de los triángulos, delimitada por los ejes y la tangente ay = 1 / x. OK, así que eso es un problema de geometría. Y permítanme que haga un dibujo de ella. Es prácticamente lo mismo que la imagen de un ejemplo. Sólo tenemos en cuenta el primer cuadrante. Esta es nuestra forma. Muy bien, es la hipérbola. Y esto es quizá una de nuestras líneas tangentes, que viene en como esta. Y entonces estamos tratando de encontrar esta área aquí. Derecho, por lo que es nuestro problema. Entonces, ¿por qué tiene que ver con el cálculo? Tiene que ver con el cálculo, porque hay una recta tangente en él, así que vamos a necesitar hacer algunos cálculos para responder a esta pregunta. Pero como se verá, el cálculo es la parte fácil.

Así que vamos a empezar con este problema. En primer lugar, voy a etiquetar un par de cosas. Y una cosa importante para recordar, por supuesto, es que la curva es y = 1 / x. Eso es perfectamente razonable hacer. Y también, vamos a calcular las áreas de los triángulos, y usted podría preguntarse, en términos de qué? Bueno, vamos a tener que escoger un punto y darle un nombre. Y ya que necesitamos un número, vamos a tener que hacer más que geometría. Vamos a tener que hacer algo de este análisis como lo hemos hecho antes. Así que voy a escoger un punto y, en consonancia con el etiquetado que hemos hecho antes, voy a llamarlo (x0, y0). Así que eso es casi la mitad de la batalla, con anotaciones, x e y para las variables, y x0 y y0, para el punto específico.

Ahora, una vez que vea que usted tiene estas etiquetados, espero que sea razonable para hacer lo siguiente. Así que en primer lugar, este es el punto x0, y aquí está el punto y0. Eso es algo que estamos acostumbrados en los gráficos. Y con el fin de calcular el área de este triángulo, que es bastante claro que debemos encontrar la base, que es que debemos encontrar esta ubicación aquí. Y debemos encontrar la altura, por lo que necesitamos para encontrar ese valor allí. Vamos a seguir adelante y hacerlo. Entonces, ¿cómo vamos a hacer esto? Bueno, por lo que vamos a echar un vistazo. Entonces, ¿qué es lo que tenemos que hacer? Me dicen que sólo hay un paso de cálculo, y me voy a poner aquí una estrella de esta línea tangente. Tengo que entender lo que la recta tangente es. Una vez que he descubierto lo que la recta tangente es decir, el resto del problema ya no es el cálculo. Es que cuesta lo que necesitamos. ¿Cuál es la fórmula de la recta tangente? Deja eso por aquí. que va a ser y - y0 es igual, y aquí está el número mágico, ya lo hemos calculado. Está en el cuadro de allí. Es -1/x0 ^ 2 (x - x0). Así que esta es la única parte del cálculo de este problema. Pero ahora no hemos terminado. Tenemos que terminar. Tenemos que averiguar todo lo demás de estas cantidades para poder calcular el área.

Todos los derechos. Entonces, ¿cómo lo hacemos? Bueno, para encontrar este punto, esto tiene un nombre. Vamos a buscar el llamado X-intersección. Eso es lo primero que vamos a hacer. Así que para hacer eso, lo que tenemos que hacer es encontrar en esta línea horizontal que cumple con línea diagonal. Y la ecuación para el intercepto en x es y = 0. Por lo tanto, conectar y = 0, que es la línea horizontal, y nos encontramos con este punto. Así que vamos a hacer eso en estrella. Recibimos menos, oh otra cosa que necesitamos saber. Sabemos que y0 es f (x 0), yf (x) 1 / x, por lo que esta cosa es 1/x0. Y eso es igual a -1/x0 ^ 2. Y aquí es x, y aquí está x0. Muy bien, así que para encontrar este valor de x, tengo que conectar una ecuación en la otra.

Así que esto simplifica un poco. Este es -x/x0 ^ 2. Y esto es así porque el 1/x0 x0 y x0 ^ 2 cancelar algo. Y por lo que si pongo esto en el otro lado, me sale x / x 0 ^ 2 es igual a 2 / x0. Y si luego se multiplican a través - y eso es lo que esto implica - y si lo multiplicamos por x0 ^ 2 = x tengo 2x0.

OK, así que afirman que esta Tesis punto que acabamos de calcular es 2x0. Ahora, estoy casi listo. Tengo que conseguir la otra. Necesito conseguir esta aquí. Ahora voy a usar un atajo muy grande para hacer eso. Por lo tanto el acceso directo a la intersección es el uso de la simetría. Muy bien, puedo reclamar que puedo mirar a esto y puedo mirar eso, y sé que la fórmula de la intersección. Es igual al 2y0. Todos los derechos. Eso es lo que uno es. Así que éste es 2y0. Y la razón sé que esto es la siguiente: así que aquí tiene la simetría de la situación, que no es totalmente directa. Es una especie de simetría especular en torno a la diagonal. Consiste en el intercambio de (x, y) con (y, x), de modo que el comercio de las funciones de x e y. Así que la simetría que estoy usando es que cualquier fórmula de recibo que implica x e y, en caso de que el comercio a todos los x y reemplazarlos por y, y el comercio de todos los años y, y reemplazarlos por x, entonces voy a tener una fórmula correcta en el de otras maneras. Así que si todo el mundo que veo ay que lo convierten en una x, y en todas partes veo una x lo que ay, el cambio se llevará a cabo. ¿Por qué es eso? Eso es sólo un accidente de esta ecuación. Esto se debe, por lo que la simetría se explica ... es y que la ecuación es = 1 / x. Pero eso es lo mismo que xy = 1, si multiplicamos por x, que es lo mismo que x = 1 / a. Así que aquí es donde la X y la Y invertida conseguir. OK ahora si usted no confía en esta explicación, también puede obtener la intersección y conectando x = en la ecuación de estrellas. ¿De acuerdo? Tapamos y = y tenemos el valor de x. Y usted puede hacer lo mismo de forma análoga a la inversa.

Muy bien, así que estoy casi listo con el problema de geometría, y vamos a terminar ahora. Bueno, déjame esperar por un segundo antes de terminarlo. Lo que me gustaría decir es hacer uno más pequeño comentario. Y esta es la parte más difícil del cálculo en mi opinión. Así que la parte más difícil del cálculo es que lo llamamos un cálculo variable, pero estamos muy felices para hacer frente a cuatro variables a la vez o cinco, o cualquier número. En este problema, tuve una x, a y, una x0 y y0 uno. Eso ya cuatro cosas diferentes que tienen relaciones diferentes entre ellos. Por supuesto, las manipulaciones que hacemos con ellas son algebraicos, y cuando estamos haciendo los derivados que acabamos de considerar lo que se conoce como una variable de cálculo. Pero en realidad hay millones de variables potencialmente flotando alrededor. Así que eso es lo que complica las cosas, y eso es algo que hay que acostumbrarse. Ahora hay otra cosa que es más sutil, y que creo que muchas personas que enseñan la materia o utilice el sujeto no es consciente, porque ya han entrado en la lengua y son tan cómodos con ella que no siquiera se da cuenta esta confusión. Hay algo descuidado deliberadamente acerca de la forma en que tratamos con estas variables.

La razón es muy simple. Ya hay cuatro variables aquí. No quiero crear seis nombres para las variables u ocho nombres para las variables. Pero en realidad en este problema había alrededor de ocho. Acabo de ellos se deslizó por usted. ¿Por qué es eso? Así cuenta de que la primera vez que tengo una fórmula para y0 aquí, fue este punto. Y por lo que la fórmula para y0, que conecta en aquí, fue a partir de la ecuación de la curva. y0 = 1 / x 0. La segunda vez lo hice, yo no uso y = 1 / x. He utilizado esta ecuación aquí, así que no es y = 1 / x. Esa es la cosa incorrecta a hacer. Es un error fácil de hacer si las fórmulas son una falta de definición a usted y usted no está prestando atención a donde están en el diagrama.

Usted ve que el cálculo de intersección x no participan en esta línea horizontal se reunió esta línea diagonal, y = representada esta línea aquí. Así que la sloppines es que y significa dos cosas diferentes. Y lo hacemos constantemente, porque es mucho, mucho más complicado que no lo hiciera. Es mucho más conveniente para que nos permiten la flexibilidad de cambiar el papel que juega esta carta en medio de un cálculo. Y del mismo modo, más adelante, si lo había hecho por este método más sencillo, por la intersección, me han puesto x igual a 0. Eso habría sido esta línea vertical, que es x = 0. Pero no me cambia la letra x, cuando lo hice, porque eso sería una pérdida para nosotros. Así que esta es una de las principales confusiones que sucede. Si usted puede seguir recto, que está mucho mejor, y como digo esta es una de las complejidades.

Muy bien, así que ahora vamos a acabar con el problema. Por último, quisiera obtener esta área aquí. Así que, en realidad sólo voy a acabar con él aquí. Así que el área del triángulo es, así es la base por la altura. La base es la altura es de 2x0 2y0, y la mitad de eso. Así que es 1 / 2 (2x0) (2y0), que es (2x0) (y0), que es, he aquí, 2. Así que lo divertido en este caso es que en realidad no importaba lo que x0 y y0 son. Tenemos la misma respuesta cada vez. Eso es sólo un accidente de la función 1 / x. Le pasa a ser la función con esa propiedad.

Muy bien, así que tenemos algunos negocios más en la actualidad, algunos negocios graves. Así que déjame continuar. Así, en primer lugar, quiero darle un poco más anotaciones. Y estos son sólo otras anotaciones que la gente utiliza para referirse a los derivados. Y la primera es la siguiente: que ya escribió y = f (x). Y así, cuando escribimos y delta, que significa lo mismo como delta f. Eso es una notación típica. Y antes que escribimos f 'para la derivada, por lo que esta es la notación de Newton para la derivada. Pero hay otras anotaciones. Y uno de ellos es df / dx, y otra es dy / dx, es decir, exactamente lo mismo. Y a veces dejamos que la función de deslizamiento por debajo de lo que se convierte en d / dx (f) y d / dx (y). Así que estas son todas las notaciones que se utilizan para la derivación, y estas fueron iniciadas por Leibniz. Y estas notaciones se utilizan indistintamente, a veces prácticamente juntos. Ambos resultan ser de gran utilidad. Este omite - cuenta de que esto omite el punto base subyacente, x0. Esa es una de las molestias. No le da toda la información. Pero hay un montón de situaciones como que cuando la gente sale a cabo parte de la información importante, y hay que llenarlo en el contexto. Así que ese es otro par de anotaciones.

Así que ahora tengo un cálculo más para usted hoy. Llevé a cabo este cálculo de la derivada de la función 1 / x. Quiero cuidar de algunos otros poderes. Así que vamos a hacer eso.

Así Ejemplo 2 va a ser la función f (x) = x ^ n. n = 1, 2, 3, uno de estos tipos. Y ahora lo que estamos tratando de averiguar es la derivada respecto de x de x ^ n en nuestra notación nueva, lo que es igual. Así que de nuevo, vamos a formar esta expresión, el delta f / delta x. Y vamos a hacer una cierta simplificación algebraica. Así que lo que conectes por delta f ((x delta x) ^ n - x ^ n) / delta x. Ahora, antes, permítanme palo en este entonces yo lo voy a borrar. Antes, escribí aquí x0 y x0 allí. Pero ahora me voy a deshacerme de él, porque en este cálculo, en particular, es una molestia. No tengo una x flotando alrededor, lo que significa algo diferente de los x0. Y yo no quiero tener que seguir escribiendo todos los símbolos. Es una pérdida de energía pizarra. Hay una cantidad total de energía, y ya he llenado pizarras tantos que, no es sólo una cantidad limitada. Además, estoy tratando de conservar la tiza. De todos modos, no es 0. Así que pensar en x como fijo. En este caso, el delta x x se mueve y se fija en este cálculo. Muy bien ahora, con el fin de simplificar este, a fin de comprender algebraicamente lo que está pasando, tengo que entender lo que la enésima potencia de una suma es. Y esa es una famosa fórmula. Sólo necesitamos un poquito de ella, llamado el teorema del binomio. Así, el teorema del binomio que está en el texto y se explica en un apéndice, dice que si usted toma la suma de dos chicos y llevarlos a la enésima potencia, que por supuesto es (x delta x) multiplicado por sí mismo n veces. Y por lo que el primer término es x ^ n, que es cuando todos los factores n vienen pulg Y entonces, usted podría tener este factor de delta x y todo el resto x. Así que por lo menos un término de la forma (x ^ (n-1)) del delta x. ¿Y cuántas veces sucede esto? Bueno, sucede cuando hay un factor de aquí, de la siguiente factor, y así sucesivamente, y así sucesivamente, y así sucesivamente. Hay un total de n veces es posible que eso suceda. Y ahora lo mejor es que, con esto por sí solo, todo el resto de los términos son basura que no tendrá que preocuparse. Así que para ser más específico, hay una anotación muy cuidadoso de la basura. La basura es lo que se llama grandes O ((delta x) ^ 2). Lo que esto significa es que estos son términos de orden, así que con (delta x) ^ 2, (delta x) ^ 3 o superior. Muy bien, así es como. Muy emocionante, términos de orden superior.

OK, entonces este es el álgebra único que tenemos que hacer, y ahora sólo necesitamos que se combinan para conseguir nuestro resultado. Por lo tanto, ahora me voy a llevar sólo por las cancelaciones que necesitamos. Así que aquí vamos. Tenemos delta f / delta x, que recuerdo es 1 / delta x veces en que este, que es este momento, ahora esto es (x ^ n ^ nx (n-1) del delta x este término no deseado) - x ^ n. Así que eso es lo que tenemos hasta ahora sobre la base de nuestros cálculos previos. Ahora, yo voy a hacer la cancelación principal, que es esto. Todos los derechos. Entonces, eso es 1/delta x (^ nx (n-1) del delta x este término aquí). Y ahora puede dividir en el delta x. Así que me ^ nx (n-1) ahora es O (delta x). Hay al menos un factor de delta x no dos factores de delta x, porque tengo que cancelar una de ellas. Y ahora solo puede tomar el límite. Y el límite de este término va a ser 0. Es por eso que se llama basura originalmente, debido a que desaparezca. Y en matemáticas, no deseado es algo que se va. Así que esto tiende a, como delta x tiende a 0, ^ nx (n-1). Y así lo que he mostrado es que d / dx de x con el n menos - lo siento-n, es igual a nx ^ (n-1).

Así que ahora esto va a ser súper importante para usted en su conjunto de problemas en todas las formas posibles, y quiero decirle una cosa, una forma en que es muy importante. Una manera en que se extiende de inmediato. Así que esta cosa se extiende a los polinomios. Llegamos bastante fuera de este cálculo. Es decir, si tomo d / dx de algo así como (x ^ 3 5x ^ 10) que va a ser igual a 3x ^ 2, que es la aplicación de esta regla para x ^ 3. Y entonces aquí, voy a 5 * 10 para 50x ^ 9. Así que este es el tipo de cosa que salir de ella, y vamos a hacer más heno con que la próxima vez. Pregunta. Sí. Me apagado. ¿Sí?

[Inaudible]: Estudiante

Profesor: La cuestión era el teorema del binomio sólo funciona cuando delta x tiende a 0. No, el teorema del binomio es una fórmula general que también se especifica exactamente lo que la basura es. Es mucho más detallada. Pero sólo necesita esta parte. No le importaba lo que todos estos términos fueron locos. Es basura para nuestros propósitos ahora, porque no suceden a necesitar más que los dos primeros términos. Sí, porque delta x tiende a 0. Bueno, hasta la próxima.